Tolomeo

Il grande astronomo Claudio Tolomeo appartiene alla scuola di Euclide alla quale reca specifici contributi di ricerca, sia sperimentale che teorica. Egli, sostituendo come base della prospettiva una piramide al cono, sostiene che l'occhio avverte la direzione e la lunghezza dei raggi emessi e studia la questione del giudizio sulla grandezza degli oggetti osservati, combinando la lunghezza della piramide prospettica con la grandezza della sua base. Di particolare rilievo sono i risultati sperimentali sul rapporto tra gli angoli di incidenza e quelli di rifrazione, una delle prime tappe verso la definizione della legge della rifrazione.

Con uno strumento costituito da un cerchio graduato munito al centro di due indici per facilitare la misurazione degli angoli di incidenza i e di rifrazione r, Tolomeo ricava una serie di misure nei mezzi aria-acqua, aria-vetro, acquavetro. Nel caso del passaggio della luce da un mezzo più denso a uno meno denso stabilisce il valore dell'angolo limite per l'acqua. Per gli angoli di incidenza e di rifrazione egli individua una relazione che associa a un valore dato di i, il rapporto i/r. Questa assunzione verrà da molti intesa come una legge del tipo i/r = costante, risultato questo che, per piccoli valori di i, e in buon accordo con la legge della rifrazione.

Ma più esattamente la relazione che Tolomeo stabilisce tra i e r è di tipo parabolico: ciò si può desumere dalla costanza delle differenze seconde riportate nelle sue tabelle.

Si può supporre che una volta riscontrata la coincidenza dei primi risultati sperimentali con i punti di una parabola Tolomeo abbia ricavato geometricamente i successivi valori senza realmente eseguire le misure. In ogni modo, rispetto alla relazione lineare tra angoli di incidenza e di rifrazione, largamente usata nel seguito anche da Keplero, la relazione parabolica di Tolomeo approssima meglio la legge di rifrazione .

L'ipotesi emissionista sostenuta da Tolomeo fa sì che nella lettura dei brani le definizioni di angoli dí incidenza e rifrazione siano invertite rispetto all'uso corrente. Da rilevare anche il brano finale in cui Tolomeo allude a un'interpretazione unitaria della legge di riflessione e di rifrazione tramite un principio metodologico più generale, il «principio di minimo». Purtroppo lo sviluppo di questa argomentazione, risalente originariamente ad Aristotele, è andato perso.

L'Ottica di Claudio Tolomeo cit., libro V, pp. 144-50

La misura della flessione che avviene in acqua e che può essere osservata, è determinabile con un esperimento (cfr. fig. 1) simile a quello che abbiamo condotto con l'aiuto del disco di rame, per studiare le leggi degli specchi: su di esso si descriva un cerchio ABGD con centro in E e i due diametri AEG e BED che si intersecano ad angoli retti; si divida ogni quadrante in 90 parti uguali e si ponga nel centro un piccolo indice colorato. Posto il disco in posizione verticale in un piccolo recipiente, si versi in esso acqua limpida in quantità moderata e penetrabile allo sguardo Facciamo si che la superficie del disco sia perpendicolare alla superficie dell'acqua e che metà del cerchio, cioè BGD, si trovi interamente sotto l'acqua con il diametro AEG perpendicolare alla superficie dell'acqua.

Ora si prenda un arco AZ [misurato a partire] dal punto A in uno dei due quadranti del disco che si trovano al di sopra dell'acqua e si ponga anche su Z un piccolo indice colorato. Guardiamo con un occhio fino a che i due indici in Z e in E compaiono allineati sul raggio che procede dall'occhio e spostiamo una sottile assicella lungo l'arco che si trova sul quadrante opposto immerso in acqua, cioè GD, fino a che l'estremità dell'assicella appaia dalla parte opposta rispetto ai due indici. Ora, se misuriamo l'arco tra il punto G e il punto [H], rispetto al quale [l'assicella] appare in linea retta, troveremo che questo arco GH sarà sempre minore all'arco AZ e se congiungiamo ZE ed EH, l'angolo AEZ sarà maggiore dell'angolo GEH; ma questo accade solo se c'è deviazione, cioè se il raggio ZE devia verso H, a seconda della quantità in base a cui uno dei due angoli opposti differisce dall'altro. Se ora poniamo l'occhio sopra la perpendicolare AE, il raggio visuale non sarà deviato ma cadrà in G opposto [ad A] e sulla linearetta [AE].

In tutte le altre posizioni tuttavia al crescere dell'arco AZ, GH crescerà e sarà anche maggiore la deviazione del raggio [rispetto al prolungamento del raggio incidente] (cfr. tab. 1).

Tabella 1.

Misura dell'arco Misura dell'arco

AZ in gradi GH in gradi

angoli di incidenza angoli di incidenza

X VIII

XX XV e mezzo

XXX XXII e mezzo

XL XXIX

L XXXV

LX XL e mezzo

LXX XLV e mezzo

LXXX L

Così abbiamo scoperto le quantità di deviazione che avvengono in acqua ma non abbiamo trovato una differenza sensibile con acqua di diversa densità.

Ora se noi conduciamo osservazioni dall'acqua di densità naturale ad un mezzo più rarefatto, ci sarà una differenza considerevole nell'aumento degli angoli e della quantità di flessione nel passaggio del raggio dall'acqua più densa, a quella più rarefatta.

Ma poiché per noi è impossibile osservare in un esperimento come quello che abbiamo appena descritto, il comportamento della deviazione che si ha quando il raggio procede da un liquido più denso ad uno più rarefatto, abbiamo adottato il metodo seguente per misurare gli angoli.

Si abbia un semicilindro di vetro puro, simile a metà del disco, definito dall'arco TKL; il suo diametro sia minore di quello del disco di rame sopramenzionato (cfr. fig. 2). Adattiamo la sua base al disco in modo che risulti tutta in contatto con esso, e il centro comune sia in E. Il diametro TL giaccia sul diametro BD e AE sia perpendicolare alla parte piana della superficie di vetro. Pertanto, tutte le linee tracciate da E agli archi BGD e TKL saranno perpendicolari.

Ora, se conduciamo questo esperimento come abbiamo fatto per quello precedente, poniamo un piccolo indice sulla superficie appena su E, punto medio del lato del semicilindro, e guardiamo con un occhio lungo la linea AE verso il bordo del vetro; [cosl facendo], spostiamo un oggetto lungo l'arco opposto a quello da cui stiamo osservando fino a che esso ci apparirà davanti. L'oggetto si troverà sopra il punto G, perché la linea AEG è perpendicolare sia a TEL che a TKL.

E se cambiamo il nostro punto di vista in una posizione [diametralmente opposta ad A] e guardiamo nella direzione di GE, un oggetto spostato sulla circonferenza opposta del disco sarà visto opposto a GE, in direzione di EA. Per la stessa ragione di prima non ci sarà deviazione all'uscita dal vetro all'aria.

Ora, preso un arco misurato da A, AZ, e tracciata la linea ZE, colorata di nero, guardiamo lungo di essa fino a che un oggetto mosso dietro il vetro è visto in direzione della stessa linea. Se segnamo con un altro indice quel punto H che abbiamo trovato quando il colore nero [la linea ZE] appariva continuo con EH, troveremo anche, in questo caso, che l'angolo AEZ è maggiore dell'angolo GEH e per di più troveremo che l'eccesso di un angolo sull'altro è maggiore che nel caso dell'acqua, a parità di distanza [per uno stesso angolo di incidenza].

E ancora, quando l'occhio è sul punto H, che è opposto al punto E e guardiamo da H in direzione di HE, entrambi i punti [E e Z] appariranno sulla stessa identica linea. Ma poiché il raggio subiva una deviazione nel punto [E], ne segue che, sia che esso procedesse dall'aria al vetro, come faceva ZE, venendo deviato lungo EH, sia che procedesse dal vetro all'aria venendo deviato lungo EZ, in entrambi i casi si aveva una deviazione in direzione di T. E poiché le perpendicolari che sono tirate da E all'arco TKL sono tutte simili, esse non sono deviate sia che [i raggi che esse rappresentano] sono considerati entranti o uscenti da E.

Ora se in questo caso ancora, desideriamo trovare la quantità di deviazione in ogni posizione, poniamo l'occhio successivamente in ciascuna delle posizioni assunte nell'esperimento precedente, variando l'angolo formato rispetto ad E (che contiene la perpendicolare e il raggio EZ). I risultati sono i seguenti [... (cfr. tab. 2).

Tabella 2.

Misura dell'arco Misura dell'arco

AZ in gradi GH in gradi

angoli di incidenza angoli di rifrazione

X VII

XX XIII e mezzo

XXX XIX e mezzo

XL XXV

L XXX

LX XXXIV e mezzo

LXX XXXVIII e mezzo

LXXX XLII

Ma si trova che la quantità di deviazione sarà minore quando il vetro è posto in prossimità dell'acqua poiché la differenza delle deviazioni [la differenza tra gli angoli di incidenza e di rifrazione], nel passaggio di un raggio visuale da uno di questi corpi all'altro non è grande; infatti la differenza di densità tra acqua e vetro è minore di quella tra l'aria e l'acqua o tra l'aria e il vetro. Ma noi siamo in grado anche in questo caso di determinare la quantità di deviazione, come ora spiegheremo: adattiamo un semicilindro di vetro al disco di rame e sistemiamolo in modo tale che conservi la posizione in cui il centro [del bordo piano] coincida con quello del disco (cfr. fig. 3). Coloriamo di nuovo il punto E e poniamo verticalmente il disco di rame in un recipiente, ad angoli retti rispetto alla superficie dell'acqua e per metà sotto l'acqua, trovandosi la parte ricurva del vetro, TKL, nella zona superiore. Versiamo nel recipiente una quantità d'acqua in modo che il bordo TEL si trovi appena sopra la superficie dell'acqua.

Ora si prenda l'arco GH nel mezzo meno denso, cioè nell'acqua, contenente, diciamo, 10°. Segnamo H con un piccolo indice colorato e guardiamolo con un occhio finché un oggetto Z, che si stia muovendo sull'arco AB, sia visto lungo la direzione del punto H e del punto colorato E. Fatto ciò, tiriamo le due linee EH ed EZ. Se allora desideriamo misurare sull'arco AB l'angolo che si trova nel mezzo più denso, cioè nel vetro, quando l'angolo nell'acqua, misurato dalla perpendicolare, cioè l'angolo GEH varia, troveremo i risultati seguenti [ . . . ] (cfr. tab. 3).

Tabella 3

Misura dell'arco Misura dell'arco

GH in gradi AZ in gradi

angoli di incidenza angoli di rifrazione

X XIX e mezzo

XX XXIII e mezzo

XXX XXVII

XL XXXV

L XLII e mezzo

LX XLIX e mezzo

LXX LVI

LXXX LXII